[Resolve #1] 完善2025竞赛的题目解答

content/post/exam/contests/2025高一竞赛/answer.md

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 答案暂不提供
 
-<!--
 ##### 第 (1) 问
 
-##### 第 (2) 问
--->
+**【充分性】**:
+
+连接 $OC, OE, OF, DE$, 延长 $DO$ 交 $CE$ 于点 $G$.
+由 $OD = \sqrt{2}+1$ 可知 $OA \cdot OD = 1 = OF^2$,
+则 $\triangle OAF \sim \triangle OFD$, 从而 $\angle OFA = \angle ODF, \angle OAF = \angle OFD$.
+同理有 $\angle OEA = \angle ODE$.
+记 $\angle OFA = \angle ODF = \alpha$, $\angle FAB = \beta$, 则 $\angle OAF = \angle OFD \implies \angle OFC = \beta$.
+由 $OC=OE=OF$ 可得 $\angle OEF = \angle OFE = \alpha, \angle OCF = \angle CFO = \beta$, 结合 $\angle OAE = \angle FAD = \beta$ 有 $\angle GOE = \alpha + \beta = \angle GOC$, 故 $OD \perp CE$.
+
+<!-- **【必要性】**:
+
+##### 第 (2) 问 -->
 
 ### 10. (20分, 4+8+8)
 

content/post/exam/contests/2025高一竞赛/award-winners/index.md

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 在数协社干的原创试题中获得最高分的同学，在此予以表扬：
 
-第9题圆与直线（满分16分）：黄思浩（1班）11分、刘星宇（1班）11分
-第10题函数与不等式（满分20分）：刘铠闻（1班）19分
+- 第9题圆与直线（满分16分）：黄思浩（1班）11分、刘星宇（1班）11分
+- 第10题函数与不等式（满分20分）：刘铠闻（1班）19分
 
 ## 更多信息
 

content/post/exam/contests/2025高一竞赛/paper/index.md

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 #### 9. (16分， 10+6)
 
-1. 如图 1, 圆 $O$ 的一条半径 $OB = 1$, $A, D$ 在射线 $OB$ 上, 且 $OA = \sqrt{2}-1$, $E$ 是圆上一动点, 连接 $AE$ 并延长交圆 $O$ 于点 $F$, 连接 $DF$ 并延长交圆 $O$ 于点 $C$. 求证: $OD = \sqrt{2}-1$ 是 $CE \perp AD$ 的充要条件.
+1. 如图 1, 圆 $O$ 的一条半径 $OB = 1$, $A, D$ 在射线 $OB$ 上, 且 $OA = \sqrt{2}-1$, $E$ 是圆上一动点, 连接 $AE$ 并延长交圆 $O$ 于点 $F$, 连接 $DF$ 并延长交圆 $O$ 于点 $C$. 求证: $OD = \sqrt{2}+1$ 是 $CE \perp AD$ 的充要条件.
 2. 如图 2, $BC$ 是圆 $O$ 的一条直径, $A$ 在线段 $OB$ 上, $OA = a, OB = r$, 过点 $A$ 作直线交圆 $O$ 于 $D, E$, 直线 $CD, BE$ 交于点 $F$, 过 $F$ 作 $FG \perp BC$ 于点 $G$. 问: $BG$ 是否为定值? 若是, 求出该定值(用 $a, r$ 表示); 若不是, 说明理由.
 
 ![图1](figure1.png)